适用于所有范数的非均匀 Littlewood-Offord 不等式

设 $\mathbf{v}_i$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中的向量，$\{\varepsilon_i\}$ 为独立的 Rademacher 随机变量。则 Littlewood-Offord 问题旨在寻找 $\sup_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d} \mathbb{P}(\sum \varepsilon_i \mathbf{v}_i = \mathbf{x})$ 的最佳上界。推广 Littlewood-Offord、Erd\H{o}s 和 Kleitman 的均匀界，Dzindzalieta 与 Ju\v{s}kevi\v{c}ius 近期的结果给出了一个在其对 $\|\mathbf{x}\|_2$ 的依赖上最优的非均匀界。在本短文中，我们给出他们结果的一个简单替代证明。此外，我们的证明表明该界适用于 $\mathbb{R}^d$ 上的任意范数，而不仅仅是 $\ell_2$ 范数。这解决了 Dzindzalieta 与 Ju\v{s}kevi\v{c}ius 的一个猜想。