基于仿射谱相关性的 $\ell_2$ 前缀偏差与 Steinitz 问题近最优构造界

1913 年的经典结果由 Steinitz 提出 \cite{Ste13}，回答了 Riemann 和 L\'evy 先前的疑问（如 \cite{Lev05}），指出对于任意范数 \|\cdot\| 在 $\mathbb{R}^d$ 中的向量集合 $v_1, \cdots, v_n \in \R^d$ 满足 $\sum_{i=1}^n v_i = 0$，存在一种排序 $\pi: [n] \rightarrow [n]$ 使得沿该排序的所有部分和都被 $O(d)$ 界限控制，即 $\big\| \sum_{i=1}^t v_{\pi(i)} \big\| \leq O(d)$ 对所有 $t \in [n]$ 成立。Steinitz 的界限在一般情况下是常数因子紧致的，但对于 $\ell_2$ 范数 \|\cdot\|_2， conjectures 最佳界限为 $O(\sqrt{d})$。几乎一个世纪后，Banaszczyk \cite{Ban12} 的突破性工作给出了 $O(\sqrt{d} + \sqrt{\log n})$ 的界限，用于 $\ell_2$ Steinitz 问题，在 $d \geq \Omega(\log n)$ 的温和假设下与猜想相吻合。Banaszczyk 的结果是非构造性的，此前最好的算法界限是 $O(\sqrt{d \log n})$，由 Bansal 和 Garg \cite{BG17} 提出。本文给出一种高效算法，满足 $d \geq \Omega(\log^7 n)$ 的稍差但仍为多项式日志条件，即为 $\ell_2$ Steinitz 问题匹配猜想的 $O(\sqrt{d})$ 界限。与先前工作类似，我们的结果也适用于更难的 $\ell_2$ 前缀偏差问题。我们采用通过半正定规划（SDP）引导的离散布朗运动框架来获得所需排序。为实现我们的成果，我们使用 Bansal 和 Jiang \cite{BJ26} 提出的 ``通过仿射谱独立性解耦'' 新技术，结合 ``全局区间树'' 数据结构同时控制所有前缀的偏差。