大尺度点配置大尺度变换的近最优密度定理

我们研究迫使度量可测集 $E\subseteq\mathbb{R}^d$ 包含每个足够大的相似复制的所有 $n$ 点配置的密度阈值。我们证明了一个形式为 $1-O((\log n)/n)$ 的下界，该结果在对数因子上与已知的上界相匹配，从而本质上解决了Falconer、Yavicoli和本文第一作者提出的问题。我们也研究了相同的問題在配备 $\ell^p$ 范数的数据集 $\mathbb{R}^d$ 上的嵌入，得到当 $p\in(1,\infty)\setminus\{2\}$ 时的渐近尖锐界 $1-1/n+o(1/n)$。在前者估计的证明中，我们使用多项式序列对1取模的均匀分布结合概率稀疏化。在后者估计的证明中，我们依赖于 $p\neq2$ 时 $\ell^p$ 空间的几何结构。