几何与o-极小 Littlewood-Offord 问题

经典的 Erdős-Littlewood-Offord 定理指出，对于非零向量 $a_1,\dots,a_n\in \mathbb{R}^d$、任意 $x\in \mathbb{R}^d$ 以及均匀随机的 $(\xi_1,\dots,\xi_n)\in\{-1,1\}^n$，我们有 $\Pr(a_1\xi_1+\dots+a_n\xi_n=x)=O(n^{-1/2})$。在本文中，我们证明当 $S$ 关于某个 o-极小结构可定义时（例如，当 $S$ 为任意代数超曲面时此结论成立），只要 $S$ 不包含线段这一必要条件满足，就有 $\Pr(a_1\xi_1+\dots+a_n\xi_n\in S)\le n^{-1/2+o(1)}$。我们在该设定下还得到了一个逆定理。