二次Littlewood--Offord问题的解决

考虑独立 Rademacher 随机变量 $\xi_{1},\dots,\xi_{n}$ 的二次多项式 $Q(\xi_{1},\dots,\xi_{n})$。$Q(\xi_{1},\dots,\xi_{n})$ 能在多大程度上集中于单个值？经典 Littlewood--Offord 问题的这一二次版本由 Costello、Tao 和 Vu 在他们对对称随机矩阵的研究中推广。在本文中，我们得到了该问题的本质最优界，正如 Nguyen 和 Vu 所猜测的那样。具体而言，如果 $Q(\xi_{1},\dots,\xi_{n})$ “稳健地依赖于至少 $m$ 个 $\xi_{i}$”，即无法通过固定少于 $m$ 个变量 $\xi_{i}$ 的值来确定 $Q(\xi_{1},\dots,\xi_{n})$ 的值，那么我们有 $\Pr[Q(\xi_{1},\dots,\xi_{n})=0]\le O(1/\sqrt{m})$。这也蕴含了在 $\xi_{1},\dots,\xi_{n}$ 具有任意分布情况下的类似结果。我们的证明结合了若干可能具有独立意义的思想，包括将二次反集中问题归约为高维线性反集中问题的归纳解耦方案。此外，我们主要结果的一个应用是解决了 Alon、Hefetz、Krivelevich 和 Tyomkyn 关于图可诱导性的一个猜想。