Littlewood-Offord问题的双线性与二次型变体

如果f(x_1, x_2, ..., x_n)是一个依赖于大量独立伯努利随机变量的多项式，那么关于f在任何单个值上的最大集中度，我们能说些什么？对于线性多项式，这归结为经典Littlewood-Offord问题的一个版本：给定非零常数a_1到a_n，形如±a_1 ± a_2 ± ... ± a_n的和取任何单个值的最大数目是多少？这里我们考虑f是双线性型或二次型的情况。对于双线性情形，我们表明，唯一具有显著大于n^{-1}集中度的形式，是在某种意义上非常接近退化的形式。对于二次情形，我们表明，没有具有许多非零系数的形式具有显著大于n^{-1/2}的集中度。在这两种情况下，结果都几乎是紧的。