关于 Littlewood 提出的模为 1 系数多项式问题

Littlewood 提出了这样一个问题：对于具有模为 1 系数且次数递增的多项式序列 $f_n$，量 $||f_n||_4^4-||f_n||_2^4$（其中 $||.||_r$ 表示单位圆上的 $L^r$ 范数）的增长速度能有多慢。本文的结果如下：对于 $g_n(z)=\sum_{k=0}^{n-1}e^{\pi ik^2/n} z^k$，$(||g_n||_4^4-||g_n||_2^4)/||g_n||_2^3$ 的极限为 $2/\pi$，从而解决了 Littlewood 提出的一个谜题。然而，这并不是对 Littlewood 问题的最佳解答：对于多项式 $h_n(z)=\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1} e^{2\pi ijk/n} z^{nj+k}$，证明了 $(||h_n||_4^4-||h_n||_2^4)/||h_n||_2^3$ 的极限为 $4/\pi^2$。目前尚未发现具有模为 1 系数的多项式序列能给出比这更好的答案。是否存在这样的多项式序列仍是一个开放性问题。