关于$[-1,1]$上Littlewood多项式的最大值

Littlewood多项式是形如$$f_n(x)=\sum_{k=0}^n \varepsilon_k x^k$$的多项式，其中$\varepsilon_k\in\{-1, 1\}$。令$(\varepsilon_k)_{k \ge 0}$为独立同分布的Rademacher系数。我们证明了$\max_{x\in[-1,1]}|f_n(x)|$的下包络由某个高斯过程的小球概率决定。特别地，几乎必然地，$$\liminf_{n\to\infty} \frac{\log(\max_{x\in[-1,1]}|f_n(x)|/\sqrt n)}{(\log\log n)^{1/3}} = -\Big(\frac{3\pi^2}{4}\Big)^{1/3}.$$