盒约束多项式优化中Lasserre型上界层级的改进收敛速率

我们考虑在超立方体 $[-1,1]^n$ 上最小化给定 $n$ 元多项式 $f$ 的问题。Lasserre提出的一个思想是，在 $[-1,1]^n$ 上寻找一个具有多项式密度函数 $h$（给定次数 $r$）的概率分布，使得期望 $\int_{[-1,1]^n} f(x)h(x)d\mu(x)$ 最小，其中 $d\mu(x)$ 是支撑在 $[-1,1]^n$ 上的固定有限Borel测度。已知对于Lebesgue测度 $d\mu(x) = dx$，如果 $h$ 是平方和密度，可证明误差界 $O(1/\sqrt{r})$，如果 $h$ 是beta分布的密度，误差界为 $O(1/r)$。本文中，我们展示若 $d\mu(x) = \left(\prod_{i=1}^n \sqrt{1-x_i^2} \right)^{-1}dx$（正交多项式研究中著名的测度），且 $h$ 关于 $[-1,1]^n$ 具有Schmüdgen型表示（比平方和更一般的条件），则误差界为 $O(1/r^2)$。收敛速率分析依赖于多项式核理论，特别是Jackson核。我们还表明所得上界可作为广义特征值问题来计算，对于平方和密度也是如此。