自适应于内蕴体积维的核密度估计量的均匀收敛速率
统计理论
2020-01-01 v3 统计理论
摘要
我们推导了核密度估计量（KDE）与其逐点期望之差的上确界范数的集中不等式，这些不等式在带宽的选择上一致成立，并且对核与数据生成分布所施加的条件弱于文献中先前所用的条件。我们首先提出一个称为体积维的新概念，基于欧氏球概率趋于零的衰减速率来度量概率分布支撑集的内蕴维数。我们的界依赖于体积维，并推广了文献中已有的界。特别地，当数据生成分布具有有界 Lebesgue 密度或支撑于充分良态的低维流形上时，我们的界恢复了与文献中已知的、依赖于支撑集内蕴维数的相同收敛速率。同时，我们的结果适用于更一般的情况，例如具有无界密度的分布或支撑于不同维数流形混合上的分布。我们还推导了任意阶 KDE 导数的类似界。我们的结果普遍适用，但对于几何推断与拓扑数据分析中的问题尤其有用，包括水平集估计、基于密度的聚类、模态聚类与模式搜寻、脊估计以及持续同调。
引用
@article{arxiv.1810.05935,
title = {Uniform Convergence Rate of the Kernel Density Estimator Adaptive to Intrinsic Volume Dimension},
author = {Jisu Kim and Jaehyeok Shin and Alessandro Rinaldo and Larry Wasserman},
journal= {arXiv preprint arXiv:1810.05935},
year = {2020}
}
备注
51 pages, to be published in Proceedings of Thirty-sixth International Conference on Machine Learning (ICML 2019), Volume 97, 2019