重新审视超立方体上多项式优化 Lasserre 层级的收敛速率

我们重新审视了在超立方体 $[-1,1]^n$ 上最小化给定多项式 $f$ 的问题。Lasserre 层级 (也称为矩- 或平方和层级) 提供了关于最小值 $f^*$ 的一系列下界 $\{f_{(r)}\}_{r \in \mathbb N}$，其中 $r$ 指的是平方和层级中允许的次数。一个自然的问题是该层级作为参数 $r$ 的函数收敛的速度有多快。当前的最先进结果归功于 Baldi 和 Slot [SIAM J. on Applied Algebraic Geometry, 2024]，大致表明收敛速率阶为 $1/r$。在这里，我们通过一种不同的方法——多项式核方法——获得了密切相关的结果。我们还讨论了多项式核方法的局限性，表明我们的方法存在阶为 $1/r^2$ 的下界。