多项式优化的平方和层次结构与 Christoffel-Darboux 核

考虑在紧半代数集 ${\mathbf{X} \subseteq \mathbb{R}^n}$ 上最小化多项式 $f$ 的问题。Lasserre 基于 Putinar 与 Schm"udgen 的经典多项式正性平方和证书,引入了半定规划层次结构来近似这一困难优化问题。当 $\mathbf{X}$ 为单位球或标准单纯形时,我们证明了基于 Schm"udgen 型证书的层次结构以 $O(1/r^2)$ 的速率收敛到 $f$ 的全局最小值,与近期针对超球面与超立方体 $[-1,1]^n$ 所获得的收敛速率一致。在证明中,我们建立了 Lasserre 层次结构与 Christoffel-Darboux 核之间的联系,并利用了 Xu 推导的该核的闭式表达式。