矩-SOS 层次结构与 Christoffel-Darboux 核

我们考虑紧集 B 上多项式的全局极小化问题。我们表明，矩-SOS 层次结构的每一步都具有一个优美而简单的解释，它补充了通常的解释。即，它计算了 L^2(B, $\mu$) 中一组正交规范基下某多项式的系数，其中 $\mu$ 是支撑集恰为 B 的任意参考测度。所得多项式是 B 上某个带符号测度关于 $\mu$ 的某种密度。当某次松弛精确时（这通常会发生），最优多项式密度的系数即为正交多项式在全局极小点处的取值，且该最优（带符号）密度与 $\mu$ 相关的 Christoffel-Darboux (CD) 核及 Christoffel 函数存在简单关联。与计算正密度的上界层次结构相反，全局最优可借由对多项式（带符号）密度的积分精确达到，因为 CD 核是再生核，从而（只要涉及有限矩）可模拟 Dirac 测度。