Mollified Christoffel-Darboux 核与变种上的密度恢复
最优化与控制
2026-03-11 v1
摘要
我们在变种上引入 mollified Christoffel-Darboux（CD）核，这是经典 CD 与概率测度关联的紧凑域上的系统化正则化。主要动机有两点：首先，为了细化经典的 on/off-support CD 多项式的二分性，通过用均匀界取代支持上的线性增长；其次，为了获得来自矩数据且定量受控的密度恢复，而无需知道底层域的平衡测度。我们的贡献如下：(i)我们在代数变种上引入 mollifier 的族。对于该变种上的每个测度和次数，我们定义一个可由底层测度的矩通过线性代数计算的 mollified CD 核。(ii)我们通过初等论证证明，改进的二分性质成立：在 support 的内部，mollified CD 多项式在次数上均匀受限，而在 support 之外，它随次数指数增长。(iii)假设密度相对于参考测度具有 Sobolev 正则性，我们推导了通过 mollified CD 核对欧几里得空间上测度进行密度恢复的显式收敛速率。(iv)在单位球面上，我们表明，通过选择合适的代数 mollifier，由 zonal 多项式构成的核具有改进的速率，基于经典的构造性逼近结果。
引用
@article{arxiv.2603.09462,
title = {Mollified Christoffel-Darboux Kernels and Density Recovery on Varieties},
author = {Leandro Bentancur and Didier Henrion and Mauricio Velasco},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.09462},
year = {2026}
}