多项式优化中半正定松弛的精确性秩条件
最优化与控制
2025-01-13 v1
摘要
我们考虑多项式优化中的Moment-SOS层次结构。首先，我们提供一种解决给定度为2n伪矩数列φ与半代数集K⊂ℝᵈ相关的截断K-矩问题的充分条件。即，设2v为描述K中多项式的最大度数。如果其关联矩矩阵的秩r小于nv+1，则φⁿ具有在K中最多r个点上受支持的原子表示测度。当用于Moment-SOS层次结构的第n步时，它提供了保证其有限收敛(即该层次结构对应的度为n的半正定松弛的最优值为全局最小值)的充分条件。对于二次约束二次问题(QCQP)，还可从最优伪矩数列中恢复全局最小解。我们的条件以Blekherman的秩条件为 spirit，单方面而言它更严格，另一方面它适用于受约束的POPs，因为它为表示测度在K上的局部化提供了方法。
关键词
引用
@article{arxiv.2501.06052,
title = {Rank conditions for exactness of semidefinite relaxations in polynomial optimization},
author = {Jean B Lasserre},
journal= {arXiv preprint arXiv:2501.06052},
year = {2025}
}