非负象限上多项式优化的可处理凸松弛层次

我们考虑半代数集包含于非负象限内的多项式优化问题（POP）（通过原点的简单平移，任意紧集上的 POP 均可化为此形式）。此类 POP 可通过将每个变量平方转化为等价的 POP。利用偶对称性与因子宽度的概念，我们基于 Dickinson-Povh 对 Pólya 正定性定理（Pólya's Positivstellensatz）的推广，提出了一个半定松弛层次。作为其区别性且关键的特征，每个所得半定松弛的最大矩阵尺寸可任意选取；此外，我们证明当半代数集具有非空内部时，新层次返回的值序列以 $O(\varepsilon^{-c})$ 的速率收敛到原 POP 的最优值。当应用于（i）多层神经网络的鲁棒性认证与（ii）正最大奇异值的计算时，我们基于 Pólya 正定性定理的方法提供了更好的界，且比标准矩-SOS（Moment-SOS）层次快数百倍。