用于多项式优化的 Polyhedral-SDP 和 Moment-SOS 松弛的低秩增广拉格朗日方法

多项式优化问题 (POP) 可以通过 Kim、Kojima 和 Toh (SIOPT 30:1251-1273, 2020) 的方法重新表述为几何凸锥规划，尽管此类表述仍然是 NP-hard 的。本文证明了Several well-known relaxations 在一个常见的 polyhedral-SDP 框架下统一，该框架通过用可计算的多面体锥与正半导矩阵锥的交集来逼近难以计算的锥。虽然这些松弛在提供紧致下界方面有效，但随着变量数和约束数的增加，以 $\Omega(n^{2\tau})$ 的速度增长（其中 $\tau$ 为松弛阶数），导致计算开销巨大。为此，我们提出了 RiNNAL-POP，一种针对 POP 的大规模 polyhedral-SDP 松弛的低秩增广拉格朗日方法 (ALM)。为高效处理 $\Omega(n^{2\tau})$ 的非负性和一致性约束，我们设计了计算复杂度随变量数线性 scaling 的定制投影方案。此外，我们识别出 polyhedral-SDP 松弛中隐藏的面部结构，通过将矩阵变量限制在对应 semidefinite 锥暴露面 (exposed faces) 的仿射子空间中，从而消除大量线性约束。后者使我们能够在仿射子空间上高效求解 factorized ALM 子问题。在每个 ALM 迭代中，我们还对原始矩阵变量执行一次投影梯度步骤，以自动调整秩并在必要时避免次要局部极小值。我们还将 RiNNAL-POP 算法框架扩展到 POP 的 moment-SOS 松弛。大量基准问题的numerical experiments 显示，RiNNAL-POP 在求解大规模 polyhedral-SDP 松弛方面具有稳健性和效率。