RiNNAL+: 用于混合二进制二次规划SDP-RLT松弛的Riemannian ALM求解器

双非负 (DNN) 松弛通常为混合二进制二次规划 (MBQP) 提供紧密的下界。然而，求解DNN问题具有挑战性，因为：(1) 对于有n个变量和l个不等式约束的MBQP，问题规模为 $\Omega((n+l)^2)$；(2) 由于缺乏理论界限，无法预先估计最优解的秩。本文提出了RiNNAL+，一种用于求解DNN问题的Riemannian增广拉格朗日方法 (ALM)。我们证明，矩阵维数为 $(n+l+1)$ 的MBQP的DNN松弛等价于基于重构-线性化技术 (RLT) 的SDP-RLT松弛，其矩阵维数更小，为 $(n+1)$。此外，我们开发了一种混合方法，用于求解ALM子问题。在第一阶段，我们应用低秩矩阵分解和随机扰动，将可行区域转换为低维流形，以便使用Riemannian梯度下降法。在第二阶段，我们应用单个投影梯度步骤来更新基本变量的秩，并在必要时从第一阶段产生的假局部极小点中逃逸。为减少投影梯度步骤的计算成本，我们开发了预处理和热启动技术以加速。与需要 extensive 参数调谐的传统秩自适应方法不同，我们的混合方法需要最小化调谐。大量实验表明，RiNNAL+ 在求解各种大规模DNN问题方面具有高效性和鲁棒性。