基于矩-半平方（moment-SOS）层次结构的箭型多项式矩阵不等式及其在结构优化中的应用
最优化与控制
2025-09-04 v1
摘要
箭分解（Arrow Decomposition, AD）技术最初于 [Mathematical Programming 190(1-2) (2021), pp 105-134] 引入，在线性矩阵不等式（LMIs）中相较于经典的和弦分解展现出更好的可扩展性，前提是矩阵满足适当的假设。本文的主要目标是将 AD 方法扩展到求解涉及大规模多项式矩阵不等式（PMIs）的多项式优化问题（POP），其解决方案框架依赖于矩-半平方（moment-sum of square, mSOS）层次结构。首先，我们重新审视 LMIs 情形，弱化了 [Mathematical Programming 190(1-2) (2021), pp 105-134] 中关键 AD 定理所需的条件。这种修改使方法能够适用于更广泛的范围内的问题。随后，我们提出一种实用程序，通过物理解释在结构优化应用中减少额外变量的数量。对于 PMI 情形，我们探讨两种不同的将 AD 技术与 mSOS 层次结构结合的方案：一种方案是在实施 mSOS 松弛之前将 AD 应用于原始 POP；另一种方案则直接将 AD 应用于 POP 的 mSOS 松弛。我们为两种方案建立收敛性保证，并证明理论性质可推广到多项式情形。最后，我们展示了在结构优化问题中应用 AD 所带来的显著计算优势。
引用
@article{arxiv.2509.02849,
title = {Moment-SOS hierarchies for arrow-type polynomial matrix inequalities with applications to structural optimization},
author = {Marouan Handa and Marek Tyburec and Giovanni Fantuzzi and Victor Magron and Michal Kočvara},
journal= {arXiv preprint arXiv:2509.02849},
year = {2025}
}
备注
49 pages, 10 figures, 5 tables