具有 SOS-凸性的鲁棒多项式矩阵不等式优化的矩-SOS 层次
最优化与控制
2024-10-10 v5
摘要
我们研究一类带有鲁棒多项式矩阵不等式（PMI）约束的多项式优化问题，其中不确定性集合本身也由 PMI 定义。这些可视为半无限多项式规划的矩阵推广，因为一般而言它们实际涉及无穷多个 PMI 约束。在一定的 SOS-凸性假设下，我们构造了求解此类问题的逐次紧致的矩-SOS 松弛层次。通常多项式优化的矩-SOS 层次的大部分良好性质被推广到这一更复杂的情形。特别地，保证了层次的渐近收敛性，并且若某个平坦扩张条件成立则可证明有限收敛。为提取全局极小元，我们给出了一种线性代数过程，用于从截断矩阵值矩恢复有限原子矩阵值测度。作为一个应用，我们能够处理在 PMI 约束下最小化多项式矩阵最小特征值的问题。若以凸性替代 SOS-凸性，我们仍可通过求解一串半定规划任意逼近最优值，并在特定平坦扩张条件成立时证明全局最优性。最后，在秩一条件下给出了向非凸情形的推广。为获得上述结果，运用了实代数几何、矩阵值测度论和凸优化技术。
引用
@article{arxiv.2304.12628,
title = {A Moment-SOS Hierarchy for Robust Polynomial Matrix Inequality Optimization with SOS-Convexity},
author = {Feng Guo and Jie Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2304.12628},
year = {2024}
}
备注
38 pages, 1 figure