由多项式矩阵不等式定义的半代数集的非SOS Positivstellensätze

本文针对在由多项式矩阵不等式（PMI）定义的集合上取正值的多项式，建立了新的Positivstellensätze。我们将经典的Handelman定理与Krivine-Stengle定理从标量不等式设定推广至矩阵情形，推导出不依赖平方和（SOS）的显式证书形式。具体而言，我们证明在特定条件下，任何在PMI定义的半代数集上取正值的多项式，均可利用定义矩阵（或其膨胀形式）的Kronecker幂及半正定系数矩阵获得一种表示。在相关稀疏模式下，我们进一步证明了更为高效的稀疏表示，显著降低了计算复杂度。通过将这些结果应用于带PMI约束的多项式优化，我们构造了一族半定规划松弛，其规模仅取决于约束矩阵的维数，而与变量数目无关。因此，对于具有大量变量且低维矩阵约束的问题，我们的松弛方法可保持计算上的可行性，在传统基于SOS的松弛变得不可行的场景下提供了一种实用的替代方案。