一般半代数集上 Positivstellensätze 的次数界

令 $p_{\min}$ 表示多项式 $p$ 在（一般）紧半代数集 $S \subseteq \mathbb{R}^n$ 上的最小值。逼近 $p_{\min}$ 的一种标准方法是通过由 Positivstellensätze 构建的层级体系，这些定理利用平方和或其他全局非负多项式类来证明多项式在 $S$ 上的非负性。随着证明次数（certificate's degree）的增长，这些层级生成的值渐近收敛于 $p_{\min}$。那么，一个自然的问题是，确定获得对 $p_{\min}$ 的给定 $\varepsilon$-逼近所需的证明次数的显式界，或等价地证明 $f:=p - p_{\min} + \varepsilon$ 在 $S$ 上的正性。我们改进了 $S$ 上 Putinar 和 Schmüdgen 的 SOS-Positivstellensatz 的当前最佳次数界。此外，我们还得到了 $S$ 上 Krivine–Stengle 和最近引入的扩展 Handelman 的 $\mathbb{R}_+$-Positivstellensätze 的次数界；为一般紧半代数集上基于线性优化的层级提供了首个显式次数界。我们的方法基于一种提升与投影（lift-and-project）构造，其中我们通过添加新变量，利用 Łojasiewicz 不等式构造到集合 $S$ 距离的代数表示。这使得我们可以将证明 $f$ 在（复）集合 $S$ 上正性的问题提升为证明一个相关多项式 $F$ 在更高维超立方体上正性的问题。通过投影掉添加的变量，$F$ 在超立方体上的非负性证明就变成了 $f$ 在 $S$ 上的非负性证明。我们的方法提供了一个统一的框架，用于获得一般紧集上多种基于 Positivstellensatz 的层级的次数界，缩小了超立方体（或其他简单集合）与更一般半代数集之间的结果差距。