符号优化问题的代数视角

符号式（signomial）通过将多项式推广为允许任意实指数而得到。这一推广提供了极强的表达能力，但历史上牺牲了多项式优化理论中核心的“次数”这一组织原则。我们在此通过符号环（signomial rings）的概念重拾该原则，并借此利用算术-几何指数和（SAGE）非负性证书导出符号优化上下界的完备凸松弛层级。下界所依赖的 Positivstellensatz 基于条件 SAGE 的概念，去除了早期工作所要求的诸如可行集的凸性与阿基米德性之类的正则条件。通过实例我们说明了该层级在化学反应网络理论与化学工程等领域的实用性。这些例子包括与直接全局求解器（如 BARON 和 ANTIGONE）以及 Lasserre 层级（在适当时）的比较。我们上界层级的完备性源于一个通用构造：紧集上符号非负性的 Positivstellensatz 可提供对应非负符号锥的任意强外部逼近。在推导该结果的过程中，我们证明了符号矩问题解的存在性与唯一性的基本事实。