条件 SAGE 符号函数的 Positivstellensatz

近来，条件 SAGE 证书被提出作为凸集上符号函数正性的一个充分条件。在本文中，我们证明条件 SAGE 证书是 $\textit{完备的}$。即，对于任意由有理指数定义、在紧凸集 $\mathcal{X}$ 上为正的符号函数 $f(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^{\ell}c_j \exp(\mathbf{A}_j\mathbf{x})$，存在 $p \in \mathbb{Z}_+$ 和特定正定函数 $w(\mathbf{x})$ 使得 $w(\mathbf{x})^p f(\mathbf{x})$ 可被条件 SAGE 证书验证。该完备性结果类似于代数几何中的 Positivstellensatz 结果，其保证正多项式可用平方和多项式表示。该结果给出了在 $\textit{任意}$ 紧凸集上约束符号函数优化的一个收敛下界层次，且可通过条件 SAGE 证书计算。