稀疏非SOS的Putinar型Positivstellensätze
经典分析与常微分方程
2021-10-20 v1 代数几何
最优化与控制
摘要
近来，遵循Schmüdgen Positivstellensatz一般形式的紧半代数集上多项式的非SOS Positivstellensätze，已通过用其他多项式类适当替换SOS多项式而得到推导。文献中的一个开放问题是如何遵循Putinar Positivstellensatz的一般形式获得类似结果。外推在SOS情形中用于获得此类结果的代数几何工具无法回答该问题，因为代数几何方法强烈依赖于SOS多项式类的标志性性质，例如乘法下封闭和与其他多项式复合下封闭。在本文中，使用一种新方法，我们展示了由非SOS的非负多项式类（如SONC、SDSOS和DSOS多项式）构造的Putinar型Positivstellensätze的存在性。甚至不一定非负的多项式类（如算术平均/几何平均多项式之和）也可被使用。此外，我们展示了这些证书可以具有固有的稀疏性特征。当被证明非负性的多项式以及定义所关注半代数集的多项式的稀疏结构已知时，此类特征可被进一步利用。与聚焦于在SOS Positivstellensätze中利用稀疏性的相关文献相比，这些后续结果展示了如何在更一般的设定中利用稀疏性，其中使用非SOS多项式来构造Positivstellensätze。
引用
@article{arxiv.2110.10079,
title = {Sparse non-SOS Putinar-type Positivstellens\"atze},
author = {Lorenz M. Roebers and Juan C. Vera and Luis F. Zuluaga},
journal= {arXiv preprint arXiv:2110.10079},
year = {2021}
}