Reznick 正定性定理的一个稀疏版本

若 $f$ 是一个正定形式,Reznick 的 Positivstellensatz [Mathematische Zeitschrift. 220 (1995), pp. 75--97] 指出存在 $k\in\mathbf{N}$ 使得 ${\| x \|^{2k}_2}f$ 是多项式的平方和。假设 $f$ 可写为形式之和 $\sum_{l=1}^p f_l$,其中每个 $f_l$ 依赖于初始变量的一部分子集,且假设这些子集满足所谓的运行交集性质,我们给出了 Reznick 的 Positivstellensatz 的一个稀疏版本。即,存在 $k \in \mathbf{N}$ 使得 $f=\sum_{l = 1}^p {{\sigma_l}/{H_l^{k}}}$,其中 $\sigma_l$ 是多项式的平方和,$H_l$ 是统一的多项式分母,且对每个 $l=1,\dots,p$,多项式 $\sigma_l,H_l$ 与 $f_l$ 含有相同的变量。换言之,$f$ 的稀疏模式也反映在此稀疏版本的 Reznick 正定性证书中。我们随后利用该结果,在输入数据满足运行交集性质的假设下,也得到了(i) 在整个空间上非负的多项式与(ii) 在一个(可能非紧的)基本半代数集上非负的多项式的正定性证书。两者均为源于 Putinar 和 Vasilescu 的正定性证书的稀疏版本。