保持变量耦合模式的 Positivstellensatz

我们将 Schm"udgen 的 Positivstellensatz 及其 Putinar 和 Jacobi 与 Prestel 的改进，专门应用于如下情形：多项式 $f\in R[X,Y]+R[Y,Z]$ 在一个紧的基本半代数集 $K$ 上为正，而 $K$ 仅由 $R[X,Y]$ 和 $R[Y,Z]$ 中的多项式描述，或仅由 $R[X]$ 和 $R[Y,Z]$ 中的多项式描述（即 $K$ 为笛卡尔积）。特别地，我们证明了由描述 $K$ 的多项式 $\{g_j\}\subset R[X,Y]$ 和 $\{h_k\}\subset R[Y,Z]$ 生成的前序 $P(g,h)$（相应地，二次模 $Q(g,h)$）被替换为 $P(g)+P(h)$（相应地，$Q(g)+Q(h)$），从而在与表示中保持了 $X$ 与 $Z$ 之间无耦合的特性。类似的结果在涉及由 $\{g_j,h_k\}$ 生成的锥的 Krivine Positivstellensatz 中也成立。