自由代数中的凸 Positivstellensatz

给定 g 个变量中的首一线性铅笔 L，令 D_L 为其正性域，即所有使得 L(X) 半正定的任意大小的对称矩阵 g 元组 X 的集合。由于 L 是首一线性铅笔，D_L 是凸的且具有内部，反之已知具有内部的凸有界非交换半代数集都具有 D_L 的形式。本文的主要结果在一个凸半代数集上建立了一个完美的非交换 Nichtnegativstellensatz。即，一个非交换多项式 p 在 D_L 上半正定当且仅当它具有一个具有最优次数界的加权平方和表示：p = s^* s + ∑_j f_j^* L f_j，其中 s、f_j 是次数不超过 1/2 deg(p) 的非交换多项式向量。这个非交换结果与交换情形形成鲜明对比，在交换情形中，对 s、f_j 的次数没有控制，并且仅假设 p 非负（而非 p 严格正）能产生一个干净的 Positivstellensatz 的情况如此罕见，以至于这样的例子值得注意。