凸集的半定表示

设 $S =\{x\in \re^n: g_1(x)\geq 0, ..., g_m(x)\geq 0\}$ 为由多元多项式 $g_i(x)$ 定义的半代数集。假设 $S$ 是凸的、紧致的且具有非空内部。令 $S_i =\{x\in \re^n: g_i(x)\geq 0\}$，$\bdS$（resp. $\bdS_i$）为 $S$（resp. $S_i$）的边界。本文讨论 $S$ 是否可以表示为某个 LMI 可表示集合的投影。这样的 $S$ 称为半定可表示或 SDP 可表示。本文的贡献如下：{\bf (i)} 假设所有 $g_i(x)$ 在 $S$ 上都是凹的。若正定 Lagrange Hessian (PDLH) 条件成立，即对 $S$ 上最小化任意非零线性函数 $\ell^Tx$ 的优化问题，其 Lagrange 函数的 Hessian 在极小点处正定，则 $S$ 是 SDP 可表示的。{\bf (ii)} 若每个 $g_i(x)$ 在 $S$ 上要么是 sos-凹的（$-\nabla^2g_i(x)=W(x)^TW(x)$，其中 $W(x)$ 为可能非方的多项式矩阵），要么是严格拟凹的，则 $S$ 是 SDP 可表示的。{\bf (iii)} 若每个 $S_i$ 要么是 sos-凸的，要么是 poscurv-凸的（$S_i$ 是紧致凸集，其边界具有正曲率且非奇异，即 $\nabla g_i(x) \not = 0$ 在 $\bdS_i \cap S$ 上成立），则 $S$ 是 SDP 可表示的。这同样适用于 $\bdS_i \cap S$ 可光滑延拓到包含 $S$ 的某个 poscurv-凸集边界的 $S_i$。{\bf (iv)} 我们给出了 Schm\"{u}dgen 和 Putinar 矩阵 Positivstellensatz 的复杂度，这对 (i)-(iii) 的证明至关重要。