$n$ 空间中曲线的凸包

设 $K\subseteq{\mathbb R}^n$ 为凸半代数集。凸优化集合 $K$ 的半定义扩展次数 ${\mathrm{sxdeg}}(K)$ 是最小数 $d$，使得 $K$ 是有限多个谱域交集的线性像，每一谱域由大小为 $\le d$ 的线性矩阵不等式描述。这个不变量可视为半定义优化中集合 $K$ 内在复杂度的度量。对于维数为一的任意半代数集 $S\subseteq{\mathbb R}^n$，我们的主要结果表明，其闭凸包 $K$ 满足 ${\mathrm{sxdeg}}(K)\le1+\lfloor\frac n2\rfloor$。该界在多方面都是最佳的。在 $n=2$ 时此结果已知，另对于单项式曲线情形的一般情况也已知。