单项式曲线的凸包与稀疏正定性定理

考虑由参数方程 $(t^{m_1},\ldots,t^{m_n})$ 给出的单项式曲线的闭凸包 $K$，其中参数 $t$ 在区间 $I$ 中变化。我们利用构造性论证证明，$K$ 可通过 $\mathcal{O}(d)$ 个线性矩阵不等式（LMIs）获得提升的半定描述，每个不等式的大小为 $\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor +1$，其中 $d= \max \{m_1,\ldots,m_n\}$ 为曲线的次数。在对偶方面，我们证明：若次数 $d$ 且至多含 $2k+1$ 个单项式的一元多项式 $p(t)$ 在 $\mathbb{R}_+$ 上非负，则 $p$ 可表示为 $p = t^0 \sigma_0 + \cdots + t^{d-k} \sigma_{d-k}$，其中多项式 $\sigma_0,\ldots,\sigma_{d-k}$ 为平方和且 $\operatorname{deg} (\sigma_i) \le 2k$。后者是关于稀疏多项式的一元正定性定理，其中 $p$ 的非负性由平方和多项式证明，而这些多项式的次数仅依赖于 $p$ 的稀疏性。我们的结果契合将多项式优化问题表述为具有小尺寸 LMIs 的半定问题这一总体努力。此类小尺寸描述在计算视角下更具可处理性。