凸包与凸集半定表示的充分必要条件

如果集合 $S\subseteq \re^n$ 等于一个在更高维空间中可由线性矩阵不等式（LMI）描述的集合的投影，则称 $S$ 是半定（SDP）可表示的。本文的贡献是：(i) 对于有界 SDP 可表示集 $W_1,...,W_m$，我们给出了 $\cv{\cup_{k=1}^mW_k}$ 的 SDP 表示的显式构造。这提供了一种从局部 SDP 表示构建全局 SDP 表示的技术。(ii) 对于紧凸半代数集 $S$ 的 SDP 可表示性，我们证明了充分条件：边界 $\bdS$ 具有正曲率；以及必要条件：$\bdS$ 在光滑点与非退化角点处具有非负曲率。这等价于定义多项式在 $\bdS$ 上消没点处的严格与非严格拟凹性。它们之间的差距在于 $\bdS$ 具有正曲率与非负曲率、以及光滑点与非光滑点。绕过这些差距的一个充分条件是 $S$ 的某些定义多项式是 sos-凹的。(iii) 对于紧非凸半代数集 $T$ 的凸包的 SDP 可表示性，我们发现关键对象是 $\pt_cT$，即包含在 $\pt \cv{T}$ 中的 $\pt T$ 的最大子集。我们证明了 SDP 可表示性的充分条件：$\pt_cT$ 具有正曲率；以及必要条件：$\pt_cT$ 在光滑点与非退化角点处具有非负曲率。它们之间的差距与情况 (ii) 类似。本文还讨论了正定拉格朗日海森（PDLH）条件。