自由半代数集的矩阵凸包

本文属于非交换（自由）实代数几何领域，即研究实数域上的多项式不等式和方程，重点在于矩阵凸集$C$及其投影$\hat C$。一个既是凸集又有界且开的自由半代数集可以表示为线性矩阵不等式 (LMI) 的解集，这一结果表明凸自由半代数集是罕见的。此外，Tarski 传递原理在自由设定下失效：自由凸半代数集的投影未必是自由半代数的。这两个结果，以及凸近似在优化社区中的重要性，为研究自由半代数集的自由（矩阵）凸包提供了动力和动机。本文提出构造一系列变量越来越多的 LMI 域$C^{(d)}$，其投影$\hat C^{(d)}$是自由半代数集$D_p=\{X: p(X)\succeq0\}$的矩阵凸包的 successive finer 外部近似。该构造基于矩和 Hankel 矩阵的自由类比。这种近似方案可能是通用情况下所能达到的最佳方案。事实上，某些众所周知的经典（交换）凸包公式的自然非交换转写在自由情形下并不能产生凸包。这一失败在一个最简单的自由非凸$D_p$上得到了说明。一个基本问题是哪些自由集$\hat S$是自由半代数集$S$的投影？本文的技术和结果涉及这一问题，即使对于凸集，该问题也是开放的。