谱多面体与谱球之间的双解析自由映射

线性矩阵不等式（LMIs）在实数代数几何、半定规划、控制理论与信号处理中无处不在。具有（维数无关）矩阵未知量的 LMIs 是完全正映射与算子代数、算子系统与算子空间理论的核心，并作为矩阵凸集的范式。LMI 的矩阵可行性集称为自由谱多面体。在本文中，一类非常一般的类球自由谱多面体（其例子包括行或列压缩、以及压缩元组）与任意自由谱多面体之间的双解析映射被刻画，并呈现出优雅的代数形式。它们全都是高度结构化的有理映射。在定义域与值域均为类球的情况下，这些双解析映射被显式确定，且本文给出了存在具有指定点处指定值与导数的此类映射的充要条件。特别地，这导致了对类球自由谱多面体的自同构群的分类。结果依赖于一种新颖的自由 Nullstellensatz，该定理仅在发展了新的自由分析工具并将其应用于获取类球自由谱多面体边界的精细细节（局部为几何性质、全局为代数性质）之后才得以建立。