矩阵极值点与自由谱多面体的自由极值点

谱多面体是由线性矩阵不等式定义的凸集，即对所有 $x \in \mathbb{R}^g$ 满足 $$L_A(x) = I + A_1 x_1 + A_2 x_2 + \dots + A_g x_g \succeq 0$$ 的集合，其中 $A_1,\ldots,A_g$ 为某些对称矩阵。这可通过取 $X$ 为任意大小的实对称矩阵元组并使用 Kronecker 积 $$L_A(X) = I_n \otimes I_d + A_1 \otimes X_1 + A_2 \otimes X_2 + \dots + A_g \otimes X_g$$ 推广到矩阵空间。满足 $L_A (X) \succeq 0$ 的解集称为\textit{自由谱多面体}。自由谱多面体在系统控制工程、算子代数和矩阵凸集理论中十分重要。自由谱多面体的矩阵极值点与自由极值点尤其引人关注。尽管许多作者已研究自由谱多面体的矩阵极值点与自由极值点，但这两类极值点是否确实不同至今未知。本文结果分为三类：理论、算法与实验。首先，我们证明自由谱多面体存在不是自由极点的矩阵极值点，通过给出非自由极点的矩阵极值点的精确例子实现。我们还证明若 $A_i$ 为 $2 \times 2$ 矩阵，则矩阵极值点与自由极值点一致。其次，我们详述构造非自由极点的矩阵极值点的精确与数值方法，并展示如何利用 Kriel 近期的结果（Complex Anal.~Oper.~Theory 2019）高效检验一点是否为矩阵极点。第三，我们提供证据表明自由谱多面体中大量矩阵极值点并非自由极点。另一方向的数值工作展示了如何将自由谱多面体中给定元组有效写为其自由极值点的矩阵凸组合。