谱面体的极点
最优化与控制
2024-12-31 v2 泛函分析
摘要
我们考虑了在可能无限维希尔伯特空间上，在线性约束下正线性算子凸集的极点刻画问题。我们证明，即使对该类集合中点的扰动，也允许一种类似于道格拉斯分解的形式。利用这一结果，我们证明一个算子是极点的充要条件是：一个相应的线性算子集合在迹类自伴算子空间中稠密，且该迹类自伴算子的值域包含于该算子值域的闭包中。如果约束数量有限，我们证明极点相对于约束数量必须是低秩的，并推导出基于纯秩的极点刻画。在有限维设定下，我们的结果引出了对椭圆体（即相关矩阵集合）的一个极其简单的刻画，该刻画基于哈达玛积，从而允许我们刻画当所涉矩阵相等且半正定时构成哈达玛秩不等式等号情形的矩阵集合。我们通过统计学和量子力学中的例子说明了我们结果的重要性。
引用
@article{arxiv.2410.14889,
title = {Extreme Points of Spectrahedra},
author = {Kartik G. Waghmare and Victor M. Panaretos},
journal= {arXiv preprint arXiv:2410.14889},
year = {2024}
}