矩阵凸集的端点、自由谱面体与膨胀理论
算子代数
2019-06-05 v2 泛函分析
摘要
对于矩阵凸集，给出了端点概念与Arveson边界点概念的统一几何解释。这些概念按强度递增顺序包括核心的“欧几里得”端点、“矩阵”端点和“绝对”端点。一个看似不同的概念“Arveson边界”则具有膨胀理论的意味。Arveson边界点是算子系统中（不一定不可约的）边界表示的类似物。本文提供并探讨了上述端点概念的膨胀理论表述。线性矩阵不等式（LMI）的标量解集被称为谱面体。LMI的矩阵解集是自由谱面体。谱面体（相应地，自由谱面体）介于一般凸集（相应地，矩阵凸集）与凸多面体（相应地，自由多面体）之间。作为我们关于端点定理的应用，证明了矩阵凸集K的极对偶作为矩阵凸集由有限多个Arveson边界点生成，当且仅当K是自由谱面体；并且，如果一个自由谱面体K的极对偶仍是自由谱面体，那么在标量层面K是多面体。
引用
@article{arxiv.1612.00025,
title = {Extreme points of matrix convex sets, free spectrahedra and dilation theory},
author = {Eric Evert and J. William Helton and Igor Klep and Scott McCullough},
journal= {arXiv preprint arXiv:1612.00025},
year = {2019}
}
备注
This version corrects dropped hypotheses in Theorem 1.1 (1) and Proposition 6.1. A detailed explanation of the corrections is found in a new section, Section 8. 37 pages, includes table of contents