膨胀、矩阵凸集的包含与完全正映射

矩阵凸集是形如 $\mathcal{S} = \cup_{n\geq 1}\mathcal{S}_n$ 的集合（其中每个 $\mathcal{S}_n$ 是 $n \times n$ 矩阵的 $d$ 元组组成的集合），该集合在从 $M_n$ 到 $M_k$ 的UCP映射下以及直和运算下保持不变。我们研究矩阵凸集的几何及其与完全正映射和膨胀理论的关系。我们方法的关键要素包括 Effros 与 Winkler 意义上的极对偶、Arveson 意义上的矩阵值域，以及 Helton, Klep, McCullough 和 Schweighofer 意义上的自伴算子元组的缩放交换正规膨胀的具体构造。给定两个矩阵凸集 $\mathcal{S} = \cup_{n \geq 1} \mathcal{S}_n$ 和 $\mathcal{T} = \cup_{n \geq 1} \mathcal{T}_n$，我们找到 $\mathcal{S}$ 或 $\mathcal{T}$ 上的几何条件，使得 $\mathcal{S}_1 \subseteq \mathcal{T}_1$ 蕴含对于某个常数 $C$ 有 $\mathcal{S} \subseteq C\mathcal{S}$。例如，在 $\mathcal{S}$ 上的各种对称条件下，我们可以证明上述 $C$ 可选择等于 $d$（变量个数），且在某些情况下这是紧的。我们还发现了一个本质唯一的自对偶矩阵凸集 $\mathcal{D}$，即自对偶矩阵球，对于它相应的包含与膨胀结果以常数 $C=\sqrt{d}$ 成立。我们的结果对 Helton, Klep, McCullough 和 Schweighofer 最近研究的谱包含问题具有直接意义。我们的常数不依赖于决定所涉自由谱多面体的 pencils 的秩，而是依赖于“变量个数” $d$。这些结果也对在一组算子上具有指定值的（含幺）完全正映射的存在性问题有意义。