完全图的凸绘图：拓扑遇见几何

在这项工作中，我们引入并发展了球面上完全图$K_n$的凸绘图理论。完全图$K_n$的绘图$D$称为凸的，如果对于$K_n$的每个3-圈$T$，存在由$D[T]$围成的闭圆盘$\Delta_T$，使得对于任意两个顶点$u,v$（其$D[u]$和$D[v]$均在$\Delta_T$内），整个边$D[uv]$也包含在$\Delta_T$中。作为该视角的一个应用，我们考虑包含非凸$K_5$且其向$K_7$绘图的扩展受限的绘图。对每一此类绘图，我们利用凸性产生一个具有更少交叉的新的绘图。这是局部考量提供次优性充分条件的首个例子。特别地，我们未将交叉数与任何已知绘图的交叉数进行比较。该结果阐明了Aichholzer的计算机证明（私人交流）所显示的：对于$n\le 12$，每个$K_n$的最优绘图都是凸的。凸绘图通过排除五个$K_5$绘图中的两个来刻画。凸绘图的两个细化是h-凸和f-凸绘图。后者已被Aichholzer等人（Deciding monotonicity of good drawings of the complete graph, Proc.~XVI Spanish Meeting on Computational Geometry (EGC 2015), 2015）以及本文作者独立地（Levi's Lemma, pseudolinear drawings of $K_n$, and empty triangles, \rbr{J. Graph Theory DOI: 10.1002/jgt.22167)}）证明等价于伪线绘图。此外，h-凸绘图等价于伪球绘图，这由Arroyo等人近期证明（Extending drawings of complete graphs into arrangements of pseudocircles, submitted）。