凸绘制中的平面哈密顿圈

Rafla 于 1988 年提出的一个猜想断言，完全图 $K_n$ 的每一个简单绘制都允许一个平面哈密顿圈。事实证明，即使是在此类绘制中证明更简单的非交叉子结构的存在也十分困难。Aichholzer 等人以及 Suk 和 Zeng 取得了近期进展，他们证明了在 $K_n$ 的每一个简单绘制中，存在长度为 $\Omega(\log n / \log \log n)$ 的平面路径和大小为 $\Omega(n^{1/2})$ 的平面匹配。我们没有研究更简单的子结构，而是对凸绘制这一子类证明了 Rafla 猜想，该子类是 Arroyo 等人引入的凸性层级中最一般的类。此外，我们证明了 $K_n$ 的每一个凸绘制在每对顶点之间都包含平面哈密顿路径（哈密顿连通性），并且对于每个 $3 \leq k \leq n$ 都包含一个平面 $k$ 圈（泛圈性），并提出了关于极大平面子绘制的进一步结果。