图中测地凸性的分离公理 $S_3$

凸性空间 $(X,C)$ 的半空间是不包含某一点的最大凸集。分离公理 $S_3$ 断言，任意点 $x_0\in X$ 与任意不包含 $x_0$ 的凸集 $A$ 可被互补半空间（补集为凸集的凸集）分离，或等价地，所有半空间均为半空间。本文研究图中测地凸性的 $S_3$ 以及 $S_3$-图中的半空间结构。我们通过顶点 $x_0$ 与特殊集合（称为极大 $x_0$-邻近集）的半空间分离，以及它们相互阴影 $x_0/K$ 与 $K/x_0$ 的凸性，刻画了 $S_3$-图及其半空间。在满足三角条件（TC）的 $S_3$-图 $G$ 中，极大邻近集是 $G$ 的前极大团（即满足 $K\cup\{ x_0\}$ 为极大团的团 $K$）。这允许以结构化方式刻画满足（TC）的 $S_3$-图，并高效枚举其半空间。对于网状图（满足（TC）的重要图子类），$S_3$-图已通过排除五个禁用子图来刻画。在证明此结果的过程中，我们还建立了网状图的一些性质，这可能具有独立意义。特别地，我们证明网状图的任意连通局部凸集是凸的。我们还提供了 $S_3$-图的若干示例，包括拟阵的基图。最后，我们考虑（NP 完全的）半空间分离问题，描述了其两种求解方法，并将它们应用于特定的图类与图凸性。