关于图的贪婪团簇分解与集合表示

1994 年，S. McGuinness 证明了任意 n 顶点图的贪婪团簇分解最多包含 $\lfloor n^2/4 \rfloor$ 个团簇（见 J. Graph Theory 18 (1994) 427-430），其中团簇分解指边集的团簇划分，而图的贪婪团簇分解是通过逐个移除极大团簇直至图为空而得到的。该结果解决了 P. Winkler 的一个猜想。简单图 G 的多族集合表示是一个集合族（集合不必互异），其中每个成员代表 G 中的一个顶点，且两个集合的交集非空当且仅当 G 中对应的两个顶点相邻。众所周知，对于图 G，多族集合表示与边集的团簇覆盖之间存在一一对应关系。此外，对于具有交集大小至多为 1 的特定多族集合表示与边集的团簇划分之间，图也可能存在一一对应关系。在本文中，我们研究了 n 顶点图使用互异集合族的集合表示变体，包括获取图边集对应团簇划分的贪婪方法。同样地，在这种情况下，我们得到了任意 n 顶点图的贪婪团簇分解最多包含 $\lfloor n^2/4 \rfloor$ 个团簇的结果。