无平衡斜划分的完美图中的团 - 稳定集分离

受 Yannakakis 关于完美图顶点填充多面体问题的启发，我们研究了完美图的一个非遗传子类中的团 - 稳定集分离问题。图 $G$ 的一个割 $(B,W)$（即 $V(G)$ 的一个二分划）若能使得 $K\subseteq B$ 且 $S\subseteq W$，则称其分离了一个团 $K$ 和一个稳定集 $S$。团 - 稳定集分离器是一个割族，使得对于任意团 $K$ 和任意与 $K$ 不相交的稳定集 $S$，该族中均存在一个割能分离 $K$ 和 $S$。对于给定的图类，问题在于判断该类中的每个图是否都存在一个仅包含多项式数量割的团 - 稳定集分离器。这对于所有图的类以及完美图类（即 Yannakakis 的原始问题）而言仍是开放问题。在此，我们研究了无平衡斜划分的完美图；平衡斜划分是在强完美图定理的证明中引入的。最近，Chudnovsky、Trotignon、Trunck 和 Vuskovic 证明了禁止这种不友好的分解允许利用 2-join 和补 2-join 递归地分解 Berge 图直至得到基本图，并且他们找到了一种有效的组合算法来对这些图进行着色。我们利用他们的分解结果，通过发挥 2-join 在此性质上的良好表现，证明了无平衡斜划分的完美图存在二次规模的团 - 稳定集分离器。随后我们将此结果推广，证明了该类图满足强 Erdos-Hajnal 性质，这意味着每个此类图都拥有一个线性规模的双团或补双团。该性质并非对所有完美图都成立 (Fox 2006)，此外，当强 Erdos-Hajnal 性质在图的遗传类中成立时，Erdos-Hajnal 性质和多项式规模的团 - 稳定集分离也同时成立。