将完全图的绘图扩展为伪圆排列

受几何方法成功应用于证明 $K_n$ 的“伪线性”绘图的 Harary-Hill 猜想所启发，我们引入图的“伪球面”绘图。图 $G$ 的球面绘图是单位球面 $\mathbb{S}^2$ 中的一种绘图，其中 $G$ 的顶点表示为点——无三点共大圆——且 $G$ 的边是 $\mathbb{S}^2$ 中连接顶点对的最短弧。这样的绘图具有三个性质：(1) 每条边 $e$ 包含于一条简单闭曲线 $\gamma_e$ 中，使得 $\gamma_e$ 中唯一的顶点是 $e$ 的端点；(2) 若 $e\ne f$，则 $\gamma_e\cap\gamma_f$ 恰有两个交叉；(3) 若 $e\ne f$，则 $e$ 与 $\gamma_f$ 至多相交一次，或在交叉处或在 $e$ 的端点处。我们利用性质 (1)–(3) 定义 $G$ 的伪球面绘图。我们的主要结果是，对完全图而言，性质 (1)–(3) 等价于将 (2) 中“恰有两个交叉”替换为“至多两个交叉”的同样三个性质。该证明需要伪圆排列的几何横截理论中的一个结果。这是利用一个令人惊讶的结果证明的：简单闭曲线排列中特殊弧（相干螺旋）的缺失刻画了该排列中任意两条曲线至多有两个交叉这一事实。我们的研究为展示一个无扩展到伪圆排列的 $K_{10}$ 绘图，以及一个可扩展到伪圆排列但无任何此类扩展使所有伪圆对交叉两次的 $K_9$ 绘图，提供了必要的思路。