完全图半对壳可绘制的交叉数

Harary-Hill猜想指出，对于$n\geq 3$，$K_n$的每次绘制至少有\begin{align*} H(n) := \frac{1}{4}\Big\lfloor\frac{n}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-1}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-2}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-3}{2}\Big\rfloor \end{align*}个交叉。一般而言该问题仍未解决，但在受限绘制类上已有一些成功证明。这些类中最近期且最一般的是序列壳可绘制性。本工作中，我们改进了这些结果并引入半对壳可绘制这一新类。我们利用关于$k$-边的全新结果证明了该新类的Harary-Hill猜想。迄今为止，针对特定类证明Harary-Hill猜想的方法依赖于固定的参考面。我们成功应用新技术以放宽此限制，从而在考虑子绘制时可选择不同参考面。此外，我们引入$k$-偏差的概念，即最优$k$-边数与实际$k$-边数之差。借助$k$-偏差，我们深入理解了$k$-边的本质，并进一步降低了对固定参考面的必要性。