逼近 Hill 猜想

借用 László Székely 生动的表述，我们证明 Hill 猜想“在渐近意义上至少 98.5% 为真”。这一长期存在的猜想指出，对所有 $n\ge 3$，完全图 $K_n$ 的交叉数 cr($K_n$) 为 $H(n) := \frac{1}{4}\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor \lfloor \frac{n-2}{2}\rfloor \lfloor\frac{n-3}{2}\rfloor$。该猜想仅对 $n\le 12$ 得到验证。Norin 与 Zwols 利用旗代数得到了完全二部图交叉数已知的渐近下界，由此推得对每个足够大的 $n$，cr$(K_n) > 0.905\, H(n)$。同样利用旗代数，我们证明渐近地 cr$(K_n)$ 至少为 $0.985\, H(n)$。我们还证明 $K_n$ 的球面测地交叉数渐近地至少为 $0.996\, H(n)$。