完全图在射影平面上的画法

Hill 猜想指出，完全图 $K_n$ 在平面（等价地，球面）上的交叉数 $\text{cr}(K_n)$ 为 $\frac{1}{4}\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-3}{2}\rfloor=n^4/64 + O(n^3)$。Moon 证明了在将点随机分布并以测地线连接的球面画法中，交叉数的期望恰好为 $n^4/64+O(n^3)$，从而在渐近意义上与 $\text{cr}(K_n)$ 的猜想值相符。令 $\text{cr}_P(G)$ 表示图 $G$ 在射影平面上的交叉数。最近，Elkies 证明了在 $K_n$ 的自然定义的随机射影平面画法中，交叉数的期望为 $(n^4/8\pi^2)+O(n^3)$。类比 Moon 结果之于 Hill 猜想的关系，Elkies 问是否有 $\lim_{n\to\infty} \text{cr}_P(K_n)/n^4=1/8\pi^2$。我们构造了 $K_n$ 在射影平面上的画法，反驳了这一点。