可壳化画法与$K_n$的圆柱交叉数

Harary-Hill猜想指出，完全图$K_n$在平面上的任何画法中的交叉数至少为$Z(n):=\frac{1}{4}\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor \left\lfloor \frac{n-2}{2}\right\rfloor\left\lfloor \frac{n-3}{2}\right\rfloor$。在本文中，我们解决了“可壳化画法”的Harary-Hill猜想。如果存在顶点子集$S = \{v_1,v_2,\ldots,v_s\}$和$D$的一个区域$R$满足以下性质：对于所有$1 \leq i < j \leq s$，如果$D_{ij}$是从$D$中移除$v_1,v_2,\ldots v_{i-1},v_{j+1},\ldots,v_s$后得到的画法，那么$v_i$和$v_j$位于$D_{ij}$中包含$R$的区域的边界上，则称$K_n$的画法$D$是$s$-可壳化的。对于$s\geq n/2$，我们证明任何$s$-可壳化的$K_n$画法的交叉数至少为长期猜测的值$Z(n)$。此外，我们证明所有圆柱形、$x$-有界、单调和2页画法的$K_n$对于某个$s\geq n/2$都是$s$-可壳化的，因此它们都至少有$Z(n)$个交叉。所发展的技术为这些画法类提供了Harary-Hill猜想的统一证明。