关于 $K_n$ 的 3-可分解几何绘图

所有已知的 $K_n$ 最优直线绘图的点集都共享一种明显的聚类性质，即所谓的{\em 3-可分解性}。人们普遍认为，所有 $K_n$ 最优直线绘图的基础点集都是 3-可分解的。我们给出了 3-可分解 $n$ 点集中 $(\le k)$-集最小数量的下界。作为一个直接推论，我们获得了任何具有 3-可分解基础点集的 $K_n$ 直线绘图 $\dd$ 的交叉数 $\rcr(\dd)$ 的下界，即 $\rcr(\dd) > {2/27}(15-\pi^{2})\binom{n}{4}+\Theta(n^{3}) \approx 0.380029\binom{n}{4} + \Theta(n^3)$。在 3-可分解性的假设下，这将 $K_n$ 直线交叉数 $\rcr(K_n)$ 的最佳已知上下界之间的差距缩小了 40% 以上。