$K_n$的 3-对称与 3-可分解绘图（扩展版）

即使最粗略地观察绝大多数交叉数最小的$K_n$几何绘图，也会发现两个不容忽视的特征。首先，所有此类绘图似乎都具有 3 重对称性（或简称{\em 3-对称}）。其次，它们都是{\em 3-可分解}的，即存在一个包围绘图的三角形$T$，以及底层点集$P$的一个平衡划分$A, B, C$，使得$P$在$T$各边上的正交投影显示：在一边上$A$位于$B$和$C$之间，在另一边上$B$位于$A$和$C$之间，在第三边上$C$位于$A$和$B$之间。事实上，我们猜想所有最优绘图都是 3-可分解的，并且对于所有 3 的倍数$n$，都存在 3-对称的最优构造。在本文中，我们证明了任何$K_n$的 3-可分解几何绘图至少具有$0.380029\binom{n}{4}+\Theta(n^3)$个交叉点。另一方面，我们构建了 3-对称且 3-可分解的绘图，将$K_n$的直线交叉数的{\em 一般}上界改进为$0.380488\binom{n}{4}+\Theta(n^3)$。我们还给出了$n<100$时的显式 3-对称和 3-可分解构造，其效果至少与先前已知的构造相当。